И другие программы этой серии
Пусть требуется вычислить массу М винтовой линии С:
х = sin(t); у = 2cos(t); z =3t; 0 <= t <= 2;
с постоянной линейной плотностью, равной 5. Задача решается с помощью криволинейного интеграла первого рода:
М = S 5ds,
с
который сводится к вычислению следующего обыкновенного определенного интеграла:
М
= 5j V(*\')2 + (У\')2 + (z\'fdt = 5j Vcos2 t + 4 sin2 t + 9dt.
Для вычисления подынтегральной функции создадим следующий текст:
function z = MyFunc321( t )
z = sqrt( cos(t).Л2 + 4*sin(t).A2 t 9 );
который запишем в файл MyFunc321 .m, после чего вызываем функцию quad:
М = 5 * quad( \'MyFunc321\', 0, 2 ); М =
34.2903
Двойные интегралы сводятся к вычислению повторных определенных интегралов, один из которых является внутренним, а другой внешним. Внутренний интеграл является подынтегральной функцией для внешнего интеграла. Можно
было бы написать некоторую цепочку вычислений (программу), в которой многократные вычисления подынтегральной функции сводились бы к многократным вызовам функции quad. Однако нет необходимости делать это самостоятельно, так как в системе MATLAB для этого имеется специальная функция dblquad.
В результате в случае необходимости вычисления двойного интеграла, такого, как, например, интеграл
1 2
S S (x sin (у) + у sin (x) )dxdy, о 1 достаточно оформить подынтегральную функцию в следующем виде:
function z = Fof2Var( x, у ) z = x.*sin(y) + y.*sin(x);
(записав этот текст в файл Fof 2Var .m) и вызвать функцию dblquad:
J = dblquad( \'Fof2Var\', 0, 1, 1, 2 ); J = 1.1678
в результате чего и получим искомое значение двойного интеграла (это чисто учебный пример, так как данный интеграл аналитическими преобразованиями сводится к произведению однократных определенных интегралов).
xmin3(l) ans =
-1.3474 xmin3(2) ans =
0.2045 Opts(10) ans =
88
Обычно чем дальше от истинного минимума располагается начальная точка для итераций, тем больше требуется их число:
[xmin3,0pts] = fmins( \'MyPeaks\', [-2,0] );
xmin3(l)
ans =
-1.3474 xrain3(2) ans =
0.2045 Opts (10) ans =
106
Как только мы задали худшее начальное приближение, так тут же получили возросшее число необходимых итераций для достижения одной и той же точности.
Редакторы математического текста
Сейчас стандартными системами подготовки научно-технических публикаций являются различные реализации пакета ТеХ и текстовый редактор Word.