И другие программы этой серии
Обычно же для достижения высокой точности требуется выполнять интегрирование с очень малыми шагами, а контроль достигнутой точности осуществлять путем сравнения последовательных результатов. Например, при вычислении методом трапеций интеграла
5
Ssin (х) * exp(-x)dx о с шагом интегрирования dx = 1
dx = 1; х = 0:dx:5; у = sin(x) .* ехр(-х);
12 = trapz(x,y);
получается следующий результат:
12 = 0.4226
Если провести повторное интегрирование с шагом dx = 0.1, то результат будет
12 = 0.5014
Уменьшая далее шаги интегрирования последовательно в 10 раз, находим, что при dx = 0.01 интеграл равен 0.5023, то есть уже здесь видна тенденция к стабилизации результата. При dx = 0.001 снова получаем
12 = 0.5023
так что в пределах четырех десятичных цифр после запятой результат получен окончательно. Напомним, что если мы хотим наблюдать дальнейшие десятичные цифры, то нужно предварительно ввести и исполнить команду
format long
Метод трапеций является очень универсальным методом и хорошо подходит для интегрирования не слишком гладких функций. Если же функция под знаком интеграла является гладкой (существуют и непрерывны несколько первых производных), то лучше применять методы интегрирования более высоких порядков точности. При одном и том же шаге интегрирования методы более высоких порядков точности достигают более точных результатов.
В системе MATLAB методы интегрирования более высоких порядков точности реализуются функциями quad (метод Симпсона) и quadS (метод Ньютона -Котеса 8-го порядка точности). Оба этих метода являются к тому же адаптивными. Последнее означает, что пользователю нет необходимости контролировать достигнутую точность результата путем сравнения последовательных значений, соответствующих разным шагам интегрирования. Все это указанные адаптивные функции выполняют самостоятельно.
У функции quad8 более высокий порядок точности по сравнению с функцией quad, что очень хорошо для гладких функций, так как обеспечивается более высокая точность результата при большем шаге интегрирования (меньшем объеме вычислений).