И другие программы этой серии
216
Операции с векторами и матрицами
Матричные операции линейной алгебры
217
Для этого вычисления, при p = 1, 2 и inf, служит функция norm(A,p). Пример:
>> A=[2,3,1;1,9,4;2,6,7]
A=
2
3
1
1
9
4
2
6
7
>> norm(A,1)
ans = 18
функция rcond реализует более эффективный в плане затрат машинного
времени, но менее достоверный метод оценки обусловленности матрицы.
Пример:
>> s=rcond(hilb(4))
s = 4.6461e-005
4.4.3. Определитель и ранг матрицы
Для нахождения определителя (детерминанта) и ранга матриц в MATLAB име
ются следующие функции:
• det(X) – возвращает определитель квадратной матрицы X. Если X содер
жит только целые элементы, то результат – тоже целое число. Использова
ние det(X)=0 как теста на вырожденность матрицы действительно только
для матрицы малого порядка с целыми элементами. Пример:
>> A=[2,3,6;1,8,4;3,6,7]
A=
2
3
6
1
8
4
3
6
7
>> det(A)
ans = -29
Числа обусловленности матрицы определяют чувствительность решения сис
темы линейных уравнений к погрешностям исходных данных. Следующие функ
ции позволяют найти числа обусловленности матриц.
• cond(X) – возвращает число обусловленности, основанное на второй нор
ме, то есть отношение самого большого сингулярного числа X к самому ма
лому. Значение cond(X), близкое к 1, указывает на хорошо обусловленную
матрицу;
• c = cond(X,p) – возвращает число обусловленности матрицы, основанное
на p норме: norm(X,p)*norm(inv(X),p), где p определяет способ расчета:
— ?=1 – число обусловленности матрицы, основанное на первой норме;
— ?=2 – число обусловленности матрицы, основанное на второй норме;
— ?= \'fro\' – число обусловленности матрицы, основанное на норме Фро
бениуса (Frobenius);
— ?=inf – число обусловленности матрицы, основанное на норме неопре
деленности;
• c = cond(X) – возвращает число обусловленности матрицы, основанное на
второй норме. Пример:
>> d=cond(hilb(4))
d=
1.5514e+004
Детерминант матрицы вычисляется на основе треугольного разложения мето
дом исключения Гаусса:
[L,U]=lu(A); s=det(L); d=s*prod(diag(U));
• condeig(A) – возвращает вектор чисел обусловленности для собственных
значений A.